Fisher在试验设计和方差分析(ANOVA)方面的开创性工作，用于比较和选择作物品种。

Box的工作推动了过程建模和优化，尤其在化工行业，涉及回归建模和响应曲面方法。

Taguchi的稳健参数设计和六西格玛运动，旨在提高质量、减少变异。

计算机建模和试验，应用于生物技术、纳米技术、材料开发等复杂系统。

影响响应变量的变量。

因子的数值或设置。

试验中所有因子的设置组合。

施加处理的对象。

使用随机机制分配处理到试验单元或确定运行顺序。

• 每个处理应用于代表总体的单元
• 与重复测量(Repetition)不同
• 能够估计试验误差
• 降低估计量的方差，提高检测显著差异的能力

• 使用随机机制分配处理或运行顺序
• 保护免受潜在变量或"潜伏"变量的影响
• 减少主观偏差的影响
• 确保统计推断的有效性

• 将同质单元集合在一起形成区组
• 当区组间变异大于区组内变异时有效
• 在区组内进行随机化
• 消除区组间变异，减少处理效应估计的变异性
• 原则："能区组的就区组，不能区组的就随机化。"

• 灵活
• 统计分析直接
• 即使存在缺失观测也保持简单

如果单元不相似，试验误差可能较大。

通过调整每次比较的显著性水平 \(\alpha\) 来控制EER，即使用 \(\alpha / k'\) 作为单次比较的显著性水平，其中 \(k'\) 是比较的总次数。

适用于所有两两比较，使用学生化极差分布。通常比Bonferroni方法更具统计功效。

其中 \(y_{ij}\) 是第 \(i\) 个水平下第 \(j\) 次试验的响应，\(\mu\) 是总均值，\(\alpha_i\) 是第 \(i\) 个水平的主效应，\(\varepsilon_{ij}\) 是随机误差。

通过最小化残差平方和来估计模型参数。对于单因素试验，水平 \(A_i\) 处的均值 \(\mu_i\) 的最小二乘估计是该水平下响应的平均值 \(\bar{y}_{i.}\)。

通过最大化似然函数来估计模型参数。在正态误差假设下，\(\mu_i\) 的MLE也是 \(\bar{y}_{i.}\)，而误差方差 \(\sigma^2\) 的MLE是残差平方和除以总观测数 \(n\)（有偏估计），无偏估计是残差平方和除以自由度 \(n-k\)。

通过计算LSD来判断两个水平 \(i\) 和 \(j\) 的均值 \(\bar{y}_i\) 和 \(\bar{y}_j\) 是否存在显著差异。如果 \(|\bar{y}_i - \bar{y}_j| \geq LSD\)，则认为存在显著差异。

用于控制试验误差率 (Experiment-wise Error Rate)，即在进行多重比较时，所有比较中至少有一个第一类错误的概率。它通过调整每次比较的显著性水平 \(\alpha\) 来实现，即使用 \(\alpha / m\) 作为单次比较的显著性水平，其中 \(m\) 是比较的总次数。

适用于所有两两比较，并且在各水平重复次数相等时效果较好。它使用学生化极差分布 (studentized range distribution) 来进行检验，通常比Bonferroni法更具统计功效。

比较两种处理方法（例如，两种检测氯含量的方法）。

将两种处理应用于相同的样本或单元（例如，对同一污水样本使用两种方法）。

可以消除块间变异（例如，样本间的差异），当这种变异较大时非常有效。

比较 \(k\) 种处理，同时控制非试验因子（区组）的变异。

将 \(k\) 种处理随机分配到每个区组（包含 \(k\) 个单元）中。配对比较设计是 \(k=2\) 的特例。

评估两个处理因子及其交互作用。

双向布局中有两个处理因子，而不是一个处理因子和一个区组因子。在RBD中，通常假设区组与处理的交互作用可以忽略。

\(2^k\) 设计是一种特殊的全因子设计，其中有 \(k\) 个因子，每个因子都有两个水平（通常记为 -1 和 +1，或低水平和高水平）。

• 试验次数为 \(2^k\)
• 可以估计所有主效应和交互效应
• 设计矩阵具有正交性
• 适用于筛选重要因子

因子从低水平变到高水平时对响应变量的平均影响。对于因子 \(A\)：

其中 \(\bar{y}_{A+}\) 是因子A在高水平时的平均响应，\(\bar{y}_{A-}\) 是因子A在低水平时的平均响应。

两个或多个因子共同作用产生的效应，不能由各因子的主效应简单相加得到。二阶交互效应：

\(2^k\) 设计的响应可以用线性模型表示：

模型诊断

• 残差分析：检查模型假设
• 正态概率图：验证误差的正态性
• 拟合优度：评估模型解释能力

试验的执行顺序应该随机化，以消除时间趋势和其他系统性偏差的影响。

每个试验条件应该进行多次重复，以：

• 估计试验误差
• 提高效应估计的精度
• 增加统计检验的功效

当试验条件不能完全均匀时，可以使用区组设计来控制已知的变异源。

优点：简单易懂，易于实施

缺点：

• 无法检测交互效应
• 可能错过最优条件
• 效率较低

• 检测交互效应：能够识别因子间的相互作用
• 效率更高：用更少的试验获得更多信息
• 全局优化：在整个因子空间中寻找最优解
• 模型建立：可以建立预测模型

如果所有效应都不显著（即都等于零），那么估计的效应应该服从正态分布。显著的效应会偏离正态分布的直线。

1. 计算所有效应的估计值
2. 将效应按大小排序
3. 计算对应的正态分位数
4. 绘制效应值对正态分位数的散点图
5. 不显著的效应应该在一条直线上

使用效应的绝对值和半正态分布，避免了效应符号的影响，使得图形更容易解释。

1. 计算所有效应的绝对值
2. 按绝对值大小排序
3. 使用半正态分位数
4. 显著效应会明显偏离直线

提供一种客观的方法来确定效应的显著性，而不依赖于主观的图形判断。

1. 计算伪标准误差 (PSE)：\(PSE = 1.5 \times median\{|effect_i| : |effect_i| < 2.5s_0\}\)
2. 其中 \(s_0\) 是效应绝对值的中位数
3. 计算临界值：\(ME = t_{\alpha/2, d} \times PSE\)
4. 其中 \(d\) 是用于计算PSE的效应个数的1/3

当响应变量有特定的目标值时，如何选择因子水平使响应尽可能接近目标值。

1. 建立预测模型：基于试验数据建立响应面模型
2. 优化求解：使用数值优化方法寻找最优因子组合
3. 验证试验：在预测的最优条件下进行验证试验

当关注响应的变异性时，可以将每个试验条件下的样本方差的对数作为新的响应变量进行分析：

• 质量控制：寻找减少产品变异的因子组合
• 稳健设计：识别对噪声因子不敏感的条件
• 过程优化：同时优化均值和方差

当试验条件不能在均匀环境下完成时，需要使用区组设计来控制已知的变异源。

• 区组内均匀：同一区组内的试验条件应尽可能相似
• 区组间差异：不同区组间可以存在系统性差异
• 平衡性：每个区组内应包含平衡的试验组合

三水平设计中每个因子有三个水平，通常记为 -1, 0, +1 或低、中、高水平。

• 可以检测二次效应（曲率效应）
• 适用于响应面建模
• 试验次数为 \(3^k\)（全因子设计）

线性效应：响应随因子水平线性变化

二次效应：响应与因子水平呈二次关系，表示曲率

正交表是一种特殊的试验设计表，记为 \(L_N(s^k)\)，其中：

• \(N\)：试验次数
• \(s\)：每个因子的水平数
• \(k\)：最多可安排的因子数

在正交表的任意两列中，每种水平组合出现的次数相等。这保证了：

• 各因子效应的估计相互独立
• 设计具有平衡性
• 分析简化

将试验因子分配到正交表的列中。如果因子数少于表的列数，剩余列可以：

• 留空（用于估计误差）
• 安排交互效应
• 安排虚拟因子

1. 基本序列法：从基本正交表开始构造
2. 差集法：利用数学差集理论
3. 有限域法：基于有限域的代数结构

通过计算各因子不同水平下的平均响应来判断因子的重要性：

1. 计算每个因子各水平的平均响应
2. 计算极差（最大值-最小值）
3. 极差越大，因子越重要

使用ANOVA方法进行更严格的统计分析：

• 计算各因子的平方和
• 进行F检验
• 确定显著因子

线性图是一种图形工具，用于：

• 选择合适的正交表
• 将因子和交互效应分配到正交表的列中
• 避免混杂问题

• 节点：代表正交表的列（因子）
• 边：代表两个因子的交互效应
• 边上的数字：表示交互效应所在的列

混杂是指两个或多个效应无法独立估计的现象。在试验设计中，当设计矩阵的某些列相同或成比例时就会发生混杂。

• 试验次数不足：无法独立估计所有效应
• 设计选择不当：正交表的列数限制
• 因子安排错误：将相关效应安排在同一列

饱和设计是指试验次数等于需要估计的参数个数的设计。在这种设计中，没有自由度用于估计误差。

• 效率最高：用最少试验获得最多信息
• 无误差估计：没有重复或剩余自由度
• 假设严格：通常假设高阶交互效应为零

田口方法（Taguchi Methods）是一套系统的质量工程方法，旨在设计稳健的产品和过程，使其对噪声因子不敏感。

• 稳健设计：减少产品性能的变异
• 质量损失函数：量化偏离目标的损失
• 信噪比：综合评价指标
• 正交表应用：高效的试验设计

田口提出的二次损失函数：

其中 \(y\) 是质量特性值，\(T\) 是目标值，\(k\) 是损失系数。

• 望目特性：有特定目标值（如尺寸）
• 望小特性：越小越好（如缺陷率）
• 望大特性：越大越好（如强度）

信噪比是田口方法中的核心指标，用于同时考虑均值和方差的影响。

• 望目特性：\(SNR = 10\log_{10}\left(\frac{\mu^2}{\sigma^2}\right)\)
• 望小特性：\(SNR = -10\log_{10}\left(\frac{1}{n}\sum y_i^2\right)\)
• 望大特性：\(SNR = -10\log_{10}\left(\frac{1}{n}\sum \frac{1}{y_i^2}\right)\)

将参数设计分为两个步骤：

1. 第一步：选择使SNR最大的因子水平（减少变异）
2. 第二步：调整均值到目标值（通常通过调节因子）

理想的调节因子应该：

• 对均值有显著影响
• 对方差影响很小
• 成本低，易于调节

分式因子设计是全因子设计的一部分，记为 \(2^{k-p}\)，其中 \(k\) 是因子数，\(p\) 是分式数，试验次数为 \(2^{k-p}\)。

优点：

• 大幅减少试验次数
• 适用于筛选试验
• 成本效益高

缺点：

• 某些效应会混杂
• 信息损失
• 需要假设高阶交互效应可忽略

用于构造分式设计的关系式，例如 \(I = ABCD\) 表示四因子交互效应设为单位元。

所有生成元及其乘积构成的集合，决定了设计的混杂模式。

分辨度是定义关系中最短单词的长度，用罗马数字表示：

• 分辨度III：主效应与二阶交互效应混杂
• 分辨度IV：主效应清晰，二阶交互效应相互混杂
• 分辨度V：主效应和二阶交互效应都清晰

当某些因子不重要时，分式设计在剩余因子上的投影可能形成更强的设计。

根据前期试验结果设计后续试验的策略：

1. 筛选试验：识别重要因子
2. 精细试验：研究重要因子的详细效应
3. 优化试验：寻找最优条件

在 \(2^k\) 设计中添加中心点（所有因子都在中间水平）可以：

• 检测曲率效应
• 估计纯误差
• 提供设计的稳健性

非正规设计是指不能用简单生成元构造的设计，具有复杂的混杂模式。

• 混杂模式用广义定义关系描述
• 可能具有更好的投影性质
• 分析需要特殊方法

• 最小二乘估计：处理非正交设计
• ANOVA分解：考虑复杂混杂结构
• 效应层次原理：假设低阶效应更重要

• D-最优：最大化 \(|X'X|\)（参数估计精度）
• A-最优：最小化 \(tr[(X'X)^{-1}]\)（平均方差）
• G-最优：最小化最大预测方差
• I-最优：最小化平均预测方差

• 交换算法：逐步改进设计点
• 遗传算法：模拟生物进化过程
• 模拟退火：概率性搜索算法

通过试验建立响应变量与因子之间的数学模型，然后利用模型进行优化。

• 中心复合设计 (CCD)：包含因子点、轴点和中心点
• Box-Behnken设计 (BBD)：三水平设计的特殊形式
• 混合水平设计：不同因子有不同水平数

计算机试验具有确定性、高维度、计算成本高等特点，需要特殊的设计方法。

• 拉丁超立方抽样：保证各维度的均匀性
• 空间填充设计：在设计空间中均匀分布
• 正交拉丁超立方：结合正交性和空间填充

追求试验点在设计空间中的均匀分布，适用于：

• 计算机试验
• 高维问题
• 非线性模型

试验次数少于因子数的设计，用于：

• 大规模因子筛选
• 资源极度受限的情况
• 初步探索性研究

包含不同激光功率水平下的粘合强度数据。

显示了方差来源（激光、残差、总和）、自由度、平方和、均方和F值。通过F检验的p值来判断激光功率是否对强度有显著影响。

理想情况下，残差应随机分布在0周围，形成一个平行带。如果出现扇形或曲线模式，可能表明误差方差不恒定或模型不充分。

如果残差图显示出某种模式，可能表明模型未能完全捕捉响应与因子之间的关系。

用于检验残差是否服从正态分布。如果残差服从正态分布，其点将近似落在一条直线上。